Pertidaksamaan Irasional merupakan suatu bentuk pertidaksamaan yang memuat variabel di dalam tanda akarnya. Bentuk umum pertidaksamaan irasional ialah sebagai berikut ini :
Misal
Langkah – Langkah Penyelesaian
Setelah membaca penjelasan diatas, dibawah ini ada teknik langkah agar dapat menyelesaikan soal pertidaksamaan irasional :
Pertama menguadratkan kedua ruas pertidaksamaannya supaya bentuk akarnya menjadi hilang, setelah itu menentukan penyelesaiannya.
Kedua menetapkan syarat bagi fungsi yang berada tepat di bawah tanda akar. Tiap fungsi yang berada di bawah tanda akar tersebut harus menghasilkan nilai yang positif ataupun sama dengan nol (≥ 0).
Dan yang terakhir menentukan irisan antara penyelesaian utama dengan syarat-syaratnya sehingga dapat diperoleh penyelesaian dari pertidaksamaan irasional tersebut.
Jenis – Jenis Pertidaksamaan Irasional
Berdasarkan langkah – langkah pertidaksamaan irasional diatas, dapat diperoleh bentuk kesimpulan sebagai berikut ini :
Bentuk ini dapat terpenuhi jika :
“Tergantung pada tanda pertidaksamaan yang diberikan”.
Penyelesaian : Merupakan irisan dari (a) dan (b)
Contoh :
Tentukanlah himpunan penyelesaian atas pertidaksamaan dibawah ini :
Jawaban :
Bentuk tersebut dapat terpenuhi jika diperoleh :
Penyelesaian himpunan pertidaksamaan irasional ini merupakan suatu irisan dari (a) dan (b). Sehingga diperoleh hasil :
Berdasarkan penjelasan diatas dapat disimpulkan jika hasil himpunan penyelesaian atas pertidaksamaan tersebut ialah
Bentuk ini dapat terpenuhi jika :
” Sesuai tanda ketidaksamaan yang diberikan”.
Penyelesaian : Merupakan irisan dari (a), (b), dan (c)
Contoh :
Tentukanlah himpunan penyelesaian atas pertidaksamaan dibawah ini :
Jawaban :
Bentuk tersebut dapat dipenuhi jika :
Penyelesaian pertidaksamaan irasional adalah suatu irisan dari (a), (b), dan (c). Sehingga diperoleh hasil :
Berdasarkan hasil yang diperoleh diatas dapat disimpulkan hasil dari pertidaksamaan tersebut dibawah ini
Bentuk ini dapat terpenuhi jika :
Penyelesaian : Merupakan irisan dari (a), (b), dan (c).
Contoh :
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan dibawah ini
Jawaban :
Bentuk tersebut dapat dipenuhi jika
Titik pembuat nol adalah x = -2, x =1.
Penyelesaian : x < -2 dan x > 1
Penyelesaian pertidaksamaan irsional merupakan irisan dari (a), (b), dan (c). Sehingga diperoleh :
Hasil penyelesaian himpunan pertidaksamaan adalah dibawah ini
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan adalah
A. x > 7
B. 4 < x < 7
C. x < 4
D. -4 < x < 7
E.
Jawaban :
Bentuk tersebut dapat terpenuhi jika :
Titik pembuat nol x = 4, dan x = 7 adalah sebagai berikut :
Penyelesaian : 4 < x < 7
Penyelesaian himpunan pertidaksamaan irasional merupakan irisan dari (a), (b), dan (c). Sehingga dapat diperoleh sebagai berikut
Jadi dapat disimpulkan himpunan dari penyelesaian pertidaksamaan diatas adalah
4 < x < 7.
Bagaimana langkah – langkah didalam menyelesaikan pertidaksamaan irasional ini ?
Langkah awal yaitu menguadratkan kedua ruas pertidaksamaannya agar bentuk akarnya dapat hilang, lalu menentukan penyelesaiannya.
Langkah berikutnya adalah menetapkan syarat bagi fungsi yang berada tepat di bawah tanda akar. Tiap fungsi yang berada di bawah tanda akar ituharus menghasilkan nilai yang positif ataupun sama dengan nol (≥ 0) hasilnya.
Langkah terakhir menentukan irisan antara penyelesaian utama dengan syarat-syaratnya sehingga dapat diperoleh penyelesaian dari pertidaksamaan irasional tersebut.
Perhatikanlah masing – masing bentuk pertidaksamaan berikut:
Kedua bentuk pertidaksamaan diatas ialah memuat suatu bentuk pecahan atau yang dikenal dengan “rasional”. Tetapi, apakah bentuk keduanya termasuk dalam kategori pertidaksamaan rasional ?. Tidak, hanya bentuk (b) lah yang merupakan pertidaksamaan rasional karena memuat variabel pada penyebutnya tersebut. Sedangkan (a) bukanlah bentuk pertidaksamaan rasional karena penyebutnya tidak memuat dalam variabel tersebut.
Dapat disimpulkan bahwa, pertidaksamaan rasional merupakan pertidaksamaan yang berbentuk pecahan atau rasional dimana penyebutnya memuat suatu variabel.
Jenis – Jenis Pertidaksamaan Rasional
Tahukah anda bahwa pertidaksamaan rasional ini dapat dibedakan menjadi dua bentuk, yaitu pertidaksamaan rasional linear dengan pertidaksamaan rasional kuadrat. Bentuk umum dari kedua pertidaksamaan ini ialah sebagai berikut :
1. Pertidaksamaan Rasional Linear
2. Pertidaksamaan Rasional Kuadrat
Sifat – Sifat Pertidaksamaan Rasional
Ingatkah kamu mengenai suatu sifat – sifat dalam pembagian pada bilangan bulat tersebut ? Supaya kamu dapat ingat kembali, perhatikan sifat – sifatnya berikut penjelasannya :
Berdasarkan dari sifat – sifat pembagian yang sudah dijabarkan diatas, dapat diperoleh sifat – sifat pertidaksamaan rasional seperti berikut ini :
Terdefinisi adalah g(x) ≠ 0, dengan demikian ini dapat diperoleh sifat berikut dibawah ini :
Dengan hal demikian dapat diperoleh sifat berikut ini :
Langkah – Langkah Penyelesaiannya
Setelah mengetahui pengertian, jenis – jenis, serta sifat – sifat yang sudah dijelaskan diatas tersebut, berikut ini merupakan suatu langkah – langkah didalam penyelesaian pertidaksamaan rasional atau pertidaksamaan pecahan ini, maka simaklah agar dapat menyelesaikan soal dengan mudah menggunakan teknik ini :
A. Langkah pertama pindahkan seluruh suku ke dalam satu ruas misalnya kita ambil ruas kiri sehingga tidak tersisa suku artinya tersisa nol di dalam ruas kanan. Begitu perlu untuk diperhatikan anda, jika kita begitu dilarang untuk mengkali (x) silang penyebut maupun pembilang antarruas tersebut. Mengapa begitu dilarang ? Karena nilai yang belum diketahui begitu mungkin dapat mengubah bentuk pertidaksamaan tersebut jika kita melakukan kali silang tersebut.
B. Langkah kedua, lakukanlah operasi aljabar. Sudah pernah belajar kan mengenai operasi jabar ini ? Ya, tujuannya biasanya agar memperoleh atau mendapatkan bentuk yang lebih sederhana, sesudahnya kamu lakukan pemfaktoran yang mana dapat difaktorkan agar memperoleh ataupun mendapatkan nilai x tersebut.
C. Langkah terakhir adalah menyusun nilai x tersebut ke dalam garis bilangan yang ada. Bagaimana halnya dengan pertidaksamaan pangkat tinggi maupun besar, tentukan dahulu tanda yang terdapat pada masing-masing daerah dengan melakukannya secara manual. Caranya yaitu dengan mengambil satu nilai x di dalam daerah tersebut kemudian sesudahnya menguji hasil tersebut pada bentuk peridaksamaan yang ada.
Contoh Soal Beserta Cara Jawabannya
1. Tentukan cara penyelesaian pada pertidaksamaan disamping ini –>
Berikut Cara Penyelesaiannya :
Langkah awal nyatakan suatu pertidaksamaan diatas dalam bentuk umumnya seperti ini :
Karena hasil langkah awal pertidaksamaan tersebut bernilai negatif atau sama dengan nol, maka berlaku sebagai berikut :
Setelah menentukan irisan pada daerah tersebut, diperoleh bentuk seperti dibawah ini :
Dapat disimpulkan dari hasil penyelesaian yang didapat dari pertidaksamaan pada soal pertama adalah −13 ≤ x < 4.
2. Tentukan cara penyelesaian pada pertidaksamaan disamping ini –>
Berikut Cara Penyelesaiannya :
Langkah awal nyatakan suatu pertidaksamaan diatas dalam bentuk umumnya seperti berikut ini
Karena hasil langkah awal pertidaksamaan tersebut sudah bernilai positif atau tidak nol hasilnya, maka berlaku sebagai berikut :
Dapat disimpulkan dari hasil penyelesaian yang didapat dari pertidaksamaan pada soal kedua ini adalah −5 < x < −4.
3. Tentukan cara penyelesaian pada pertidaksamaan disamping ini –>
Berikut Cara Penyelesaiannya :
Karena sudah diketahui bahwa pertidaksamaan contoh ke 3 bernilai positif atau tidak nol hasilnya, maka berlaku sebagai berikut :
Dapat disimpulkan dari hasil penyelesaian yang didapat dari pertidaksamaan pada soal ketiga ini adalah −5< x < 2 atau x > 4
Berdasarkan konsep nilai mutlak dan persamaan nilai mutlak, kita akan mempelajari bagaimana konsep pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel.
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan suatu hal. Seperti lowongan kerja mensyaratkan pelamar dengan batas usia tertentu, batas nilai cukup seorang pelajar agar dinyatakan lulus dari ujian, dan batas berat bersih suatu kendaraan yang diperbolehkan oleh dinas perhubungan.
Selanjutnya, kita akan mengaplikasikan konsep nilai mutlak ke dalam pertidaksamaan linear dengan memahami dan meneliti kasus-kasus berikut masalah,
Seorang bayi lahir prematur di sebuah Rumah Sakit Ibu dan Anak. Untuk mengatur suhu tubuh bayi tetap stabil di suhu 34oC, maka harus dimasukkan ke inkubator selama 2 hari. Suhu inkubator harus dipertahankan berkisar antara 32oC hingga 35oC. Bayi tersebut lahir dengan BB seberat 2.100-2.500 gram. Jika pengaruh suhu ruangan membuat suhu inkubator menyimpang sebesar 0,2oC, tentukan interval perubahan suhu inkubator.
Cara I (Dihitung dengan Nilai Mutlak)
Pada kasus tersebut di atas, kita sudah mendapatkan data dan suhu inkubator yang harus dipertahankan selama 1-2 hari semenjak kelahiran, yaitu 34oC. Misalkan t adalah segala kemungkinan perubahan suhu inkubator akibat pengaruh suhu ruang, dengan perubahan yang diharapkan sebesar 0,2oC, Nilai mutlak suhu tersebut dapat dimodelkan, yaitu sebagai berikut.
|t – 34| ≤ 0,2
Dengan menggunakan Definisi 1.1, |t – 34| ditulis menjadi
Akibatnya, |t – 34| ≤ 0,2 berubah menjadi
t – 34 ≤ 0,2 dan –(t – 34) ≤ 0,2 atau
t – 34 ≤ 0,2 dan (t – 34) ≥ -0,2
atau dituliskan menjadi
|t – 34| ≤ 0,2 ⇔ –0,2 ≤ t – 34 ≤ 0,2
⇔ 33,8 ≤ t ≤ 34,2
Dengan demikian, interval perubahan suhu inkubator adalah {t|33,8 ≤ t ≤ 34,2}.
Jadi, perubahan suhu inkubator itu bergerak dari 33,8oC sampai dengan 34,2oC.
Cara II (Mengamati Melalui Garis Bilangan)
Perhatikan garis bilangan di bawah ini.
Interval perubahan suhu
Berdasarkan gambar, interval perubahan suhu inkubator adalah {t|33,8 ≤ t ≤ 34,2}.
Jadi, perubahan suhu inkubator itu bergerak dari 33,8oC sampai dengan 34,2oC.
Untuk memahami konsep nilai mutlak, mari kita perhatikan kedua ilustrasi berikut ini.
Cerita Pertama, Kegiatan pramuka merupakan salah satu kegiatan ekstrakurikuler yang diadakan di sekolah. Suatu pasukan pramuka sedang belajar baris berbaris di lapangan sekolah pada hari Sabtu. Sebuah perintah dari pimpinan regu, yaitu “Maju 4 langkah, jalan!”, hal ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 4 langkah kedepan. Jika perintah pimpinan pasukan adalah “Mundur 3 langkah, jalan!”, hal ini berarti bahwa pasukan akan bergerak ke belakang sejauh 3 langkah. Demikian seterusnya.
Besar pergerakan langkah pasukan tersebut merupakan nilai mutlak, tidak ditentukan arah. Contoh, “maju 4 langkah”, berarti mutlak 4 langkah dari posisi diam dan “mundur 3 langkah”, berarti mutlak 3 langkah dari posisi diam. Dalam hal ini, yang dilihat adalah nilainya, bukan arahnya.
Cerita Kedua, Seorang anak bermain lompat-lompatan di lapangan. Dari posisi diam, si anak melompat ke depan 2 langkah, kemudian 3 langkah ke belakang, dilanjutkan 2 langkah ke depan, kemudian 1 langkah ke belakang, dan akhirnya 1 langkah lagi ke belakang. Secara matematis, ilustrasi ini dapat dinyatakan sebagai berikut.
Kita definisikan lompatan ke depan adalah searah dengan sumbu x positif. Dengan demikian, lompatan ke belakang adalah searah dengan sumbu x negatif.
Perhatikan sketsa berikut.
Dari gambar di atas, kita misalkan bahwa x = 0 adalah posisi diam si anak. Anak panah yang pertama di atas garis bilangan menunjukkan langkah pertama si anak sejauh 2 langkah ke depan (mengarah ke sumbu x positif atau +2). Anak panah kedua menunjukkan 3 langkah si anak ke belakang (mengarah ke sumbu x negatif atau –3) dari posisi akhir langkah pertama. Demikian seterusnya sampai akhirnya si anak berhenti pada langkah kelima
Jadi, kita dapat melihat pergerakan akhir si anak dari posisi awal adalah 1 langkah saja ke belakang
x = –1 atau
x = (+2) + (–3) + (+2) + (–1) + (–1) = –1),
tetapi banyak langkah yang dijalani si anak merupakan konsep nilai mutlak. Kita hanya menghitung banyak langkah, bukan arahnya, sehingga banyak langkahnya adalah |2| + |–3| + |2| + |–1| + |–1| = 9 (atau 9 langkah).
Perhatikan tabel berikut
Berdasarkan kedua cerita dan tabel di atas, dapatkah kamu menarik suatu kesimpulan tentang pengertian nilai mutlak? Jika x adalah variabel pengganti sebarang bilangan real, dapatkah kamu menentukan nilai mutlak dari x tersebut?
Perhatikan bahwa x anggota himpunan bilangan real (ditulis x∈R). Berdasarkan tabel, kita melihat bahwa nilai mutlak dari x akan bernilai positif atau nol (non negatif). Secara geometris, nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan real. Dengan demikian, tidak mungkin nilai mutlak suatu bilangan bernilai negatif, tetapi mungkin saja bernilai nol.
Ada beberapa contoh percobaan perpindahan posisi pada garis bilangan, yaitu sebagai berikut.
Catatan:
Garis bilangan digunakan sebagai media untuk menunjukkan nilai mutlak.
Tanda panah digunakan untuk menentukan besar nilai mutlak, dimana arah ke kiri menandakan nilai mutlak dari bilangan negatif, dan begitu juga sebaliknya. Arah ke kanan menandakan nilai mutlak dari bilangan positif.
Besar nilai mutlak dilihat dari panjang tanda panah dan dihitung dari bilangan nol
Penjelasan
Garis bilangan 1:Tanda panah bergerak ke arah kanan berawal dari bilangan 0 menuju bilangan 3, dan besar langkah yang dilalui tanda panah adalah 3. Hal ini berarti nilai |3| = 3
atau berjarak 3satuan dari bilangan 0.
Garis bilangan 5:Tanda panah bergerak ke arah kiri berawal dari bilangan 0 menuju bilangan –3, dan besar langkah yang dilalui tanda panah adalah 3. Hal ini berarti bahwa nilai |–3| = 3 atau berjarak 3 satuan dari bilangan 0.
Dari kedua penjelasan di atas, dapat dituliskan konsep nilai mutlak, sebagai berikut.
Definisi di atas dapat diungkapkan dengan kalimat sehari-hari seperti berikut ini. Nilai mutlak suatu bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak dari suatu bilangan negatif adalah lawan dari bilangan negatif itu. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa:
