penujumlahan dan pengurangan matrik

Menurut para ahli, pengertian Matriks ialah bilangan atau simbol yang dikumpulkan menjadi satu kemudian disusun menjadi baris dan koloh hingga membentuk bangun seperti persegi panjang. Matriks tersebut mempunyai bilangan yang dinamakan dengan komponen atau elemen bilangan matriks. Selain itu adapula operasi penjumlahan dan pengurangan pada matriks. Keduanya memiliki rumus penjumlahan matriks dan rumus pengurangan matriks. Maka dari itu terdapat beberapa ketentuan dalam operasi matriks tersebut, baik dalam bentuk penjumlahan ataupun pengurangan.

Operasi dasar pada matriks tidak hanya penjumlahan maupun pengurangan saja. Melainkan masih adalagi yang lainnya seperti perkalian skalar matriks, pembagian mariks, perkalian matriks dan sebagainya. Operasi pada matriks tersebut sering muncul dalam ujian ujian sekolah ataupun nasional, baik dalam tingkat SMP ataupun SMA. Nah pada kesempatan kali ini saya akan menjelaskan tentang rumus penjumlahan matriks dan rumus pengurangan matriks. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak di bawah ini.

Rumus Penjumlahan Matriks dan Pengurangan Matriks

Seperti yang sudah saya jelaskan di atas bahwa matriks tersusun oleh bilangan bilangan yang dibentuk menjadi kolom dan baris. Maka dari itu rumus penjumlahan matriks dan rumus pengurangan matriks juga berhubungan dengan susunan kolom dan baris tersebut. Nilai nilai Matriks ini diperoleh dari penerapan sistem kolom dan baris seperti di bawah ini:

Rumus Penjumlahan Matriks

Dalam rumus penjumlahan matriks terdapat ketentuan khusus yaitu dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama dengan begitu akan diperoleh nilai nilai matriks dari penjumlahan tersebut. Elemen atau komponen matriks yang letaknya sama tinggal dijumlahkan saja. Perhatikan rumus penjumlahan pada matriks yang ordonya 2x2:

rumus penjumlahan matrik

Konsep rumus penjumlahan matriks diatas berlaku untuk ordo 3x3, 4x4 dan sebagainya. Yang terpenting dalam penjumlahan pada matriks ini ialah kedua ordo matriksnya sama. Dalam rumus tersebut a (elemen baris 1 kolom 1 matriks A) dijumlahkan dengan e (elemen baris 1 kolom 1 matriks B), kemudian begitu pula seterusnya. Agar anda lebih memahami mengenai rumus ini, saya akan membagikan contoh soal penjumlahan matriks seperti dibawah ini:

penyelesaian penjumlahan

Rumus Pengurangan Matriks

Konsep rumus pengurangan matriks hampir sama dengan penjumlahan matriks. Untuk pengurangan matriks juga berlaku ketentuan khusus yaitu kedua matriks harus mempunyai jumlah ordo yang sama. Dengan begitu akan diperoleh nilai Matriks dari pengurangan tersebut. Elemen atau komponen matriks yang letaknya sama tinggal dikurangkan saja. Perhatikan rumus pengurangan pada matriks yang ordonya 2x2:

rumus pengurangan matrik

Konsep rumus pengurangan matriks diatas berlaku untuk ordo 3x3, 4x4 dan sebagainya. Yang terpenting dalam pengurangan pada matriks ini ialah kedua ordo matriksnya sama. Dalam rumus tersebut a (elemen baris 1 kolom 1 matriks A) dikurangkan dengan e (elemen baris 1 kolom 1 matriks B), kemudian begitu pula seterusnya. Agar anda lebih memahami mengenai rumus ini, saya akan membagikan contoh soal pengurangan matriks seperti dibawah ini:

---

APRESIASI 

• pilih "PARESIASI" untuk mengisi absensi
• apresiasi yang tidak sesuai dengan perintah tidak dihitung sebagai absensi

Lanjut Baca

Konsep matrik

Para Warga, tahu nggak sih kalau ada materi matematika yang bisa kamu gunakan untuk menentukan persentase posisi bola ketika pertandingan berlangsung? Emang ada? Ternyata ada lho, nama materinya adalah matriks. Jadi, apa itu sebenarnya matriks? Mari kita simak penjelasannya,

Contoh mudah matriks dapat kamu lihat dalam ilustrasi di bawah ini:

Ilustrasi di atas dapat kamu baca seperti ini: a11 dibaca baris ke-1 dan kolom ke-1; a12 dibaca baris ke-1 dan kolom ke-2; atau amn yang berarti baris ke-m dan kolom ke-n. Banyaknya baris dan kolom dalam matriks disebut dengan ordo. Urutan yang perlu diingat adalah baris kemudian kolom. Matriks dalam ilustrasi di bawah ini memiliki ordo 2x3, karena memiliki dua baris dan tiga kolom.

Untuk mengetahui matriks dalam matematika lebih dalam, ada beberapa jenis matriks yang perlu kamu ketahui, Squad. Jenis-jenisnya adalah:

1. Matriks nol           : matriks yang semua elemennya adalah nol.
2. Matriks baris        : matriks yang hanya memiliki satu baris.
3. Matriks kolom      : matriks yang hanya memiliki satu kolom.
4. Matriks persegi  : matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.
5. Matriks identitas : matriks konstanta dengan elemen diagonal utama adalah 1.

Selain jenis-jenis matriks, ada juga yang disebut dengan transpose matriks. Ingat ‘kan kalau matriks selalu dilambangkan dengan huruf kapital? Misalnya lambang satu matriks adalah A. Nah, transpose dari matriks A dilambangkan dengan A’ (dengan tanda petik satu di atasnya). Transpose sendiri dilakukan dengan meletakkan baris pada matriks A menjadi kolom pada matriks A’, begitu juga sebaliknya.

Jangan pusing dulu! Kamu bisa lihat contoh transpose matriks di bawah ini:

Sudah paham dong sekarang? Coba, kita uji yuk pemahaman kamu lewat latihan soal di bawah ini:

Diketahui transpose matriks , maka matriks A adalah…

A.  

B. 

C. 

D. 

E. 

Pembahasan:

Cara menyelesaikannya tetap sama yaitu, pertukaran baris dengan kolom. Baris 1 -> kolom 1, baris 2 - > kolom 2 akan menjadi . Sehingga jawabannya adalah: B.

Matriks ini dapat digunakan dalam berbagai hal, seperti untuk menghitung persentase posisi bola dalam pertandingan sepak bola, mengirim sandi dalam militer, hingga penggunaan kalkulator. 

---

APRESIASI 

• pilih "PARESIASI" untuk mengisi absensi 
• apresiasi yang tidak sesuai dengan perintah tidak dihitung sebagai absensi

Lanjut Baca

Konsep dan strategi penyelesaian program linear

Cara menyelesaikan program linear dengan mudah dibahas di artikel ini melalui contoh nyata di kehidupan sehari-hari dan lingkungan sekitar.

--

Siapa sih yang nggak mengagumi Bapak Proklamasi kita, Ir. Soekarno? Jasanya buesaaaar sekali bagi kemerdekaan Indonesia, Squad. Namun tahu nggak kalau ia pernah punya sahabat? Yap, namanya adalah Che Guevara, revolusioner sekaligus Menteri Perindustrian negara Kuba. Bayangin, sama gigihnya seperti Bung Karno, Che Guevara mengangkat perekonomian Kuba dari keadaan genting memakai prinsip penyelesaian program linear dalam matematika!

penyelesaian program linear dipakai untuk optimasi atau mencari nilai yang paling efektif dari suatu proses. Nah, Che Guevara memanfaatkannya untuk mengolah industri-industri Kuba. Program linear membantu mengetahui berapa sih bahan baku yang harus dipakai suatu pabrik agar biaya produksi serendah mungkin tapi keuntungannya semaksimal mungkin. Penasaran kan gimana cara optimasi dengan menyelesaikan program linear? Cekidot!

Presiden Soekarno berdiskusi dengan Che Guevara (sumber: news.lewatmana.com)

Program linear biasanya berbentuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel, Squad. Kamu harus mengingat kembali materi pertidaksamaan dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Perlu kamu ketahui juga kalau optimasi dengan menyelesaikan program linear ada beberapa cara. Pastinya yang diterangkan di sini yang paling mudah dong. Yuk langsung cek langkah-langkah optimasi dengan menyelesaikan program linear.

Industri yang berkembang di Kuba saat itu adalah industri gula. Misalnya untuk membuat gula pada suatu pabrik diperlukan bahan baku tebu jenis X dan Y.

Banyaknya tebu X dan tebu Y yang bisa diolah tidak lebih dari 6 peti kemas. Satu peti kemas untuk tebu X beratnya 2 ton dan satu peti kemas untuk tebu Y beratnya 3 ton.
Padahal, berat total peti kemas tebu X dan Y tidak boleh lebih dari 15 ton agar kendaraan pengangkut tidak overweight. Bila satu peti kemas tebu jenis X menghasilkan 3 ton gula dan satu peti kemas tebu jenis Y menghasilkan 4 ton gula, dengan semua syarat di atas, berapa maksimum berat gula yang dapat dihasilkan?

Masalah di atas adalah masalah yang bisa diselesaikan dengan optimasi dari menyelesaikan program linear. Kok bisa? Karena kita mencari banyaknya tebu X dan Y paling efektif untuk menghasilkan gula semaksimal mungkin walaupun terdapat seperti jumlah peti kemas tidak boleh lebih dari 6 dan berat totalnya tidak boleh lebih dari 15 ton. Langsung aja yuk kita ikuti langkah-langkah di atas.

1. Buat sistem pertidaksamaan linear dari masalah yang ada

Gimana tuh cara membuat sistem pertidaksamaannya? mudah kok. Coba lihat nih. 

2. Selesaikan sistem pertidaksamaan linear tersebut

Caranya gimana hayo? Kita harus menggabungkan semua pertidaksamaan tersebut dalam satu grafik Squad. Ingat lho cara menggambar grafik yaitu cari dulu titik x saat y = 0 dan titik y saat x = 0 lalu kedua titik tersebut dihubungkan deh. Jangan lupa buat diarsir sesuai tanda pertidaksamaannya ya. Kalau lebih dari di atas dan kurang dari di bawah. Nanti jadi seperti ini deh.

3. Lakukan uji titik yang sesuai di penyelesaian sistem pertidaksamaan yang dihasilkan

Uji titik itu gimana sih? Gini, kita kan mau tau nih jumlah gula maksimum yang dihasilkan berapa. Satu peti kemas tebu X menghasilkan 3 ton gula. Padahal ada sebanyak x peti. Maka tebu X bisa menghasilkan 3x ton gula. Begitu pula dengan tebu Y. Ada sebanyak y peti dan masing-masing menghasilkan 4 ton gula. Maka tebu Y bisa menghasilkan 4y ton gula. Maka dihasilkan total gula sebanyak

Total gula = 3x + 4y

Nah, x dan y nya diisi berapa tuh? Kita isi dengan x dan y dari titik-titik kritis. Titik kritis adalah titik yang termasuk daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan namun merupakan titik perpotongan 2 garis atau lebih. Coba deh cari dulu titik kritisnya.

Didapat deh 3 titik kritis tuh yaitu (0,5), (3,3), dan (6,0). Langsung aja masukin semuanya ke 3x + 4y

Lihat coba tuh. Saat dimasukkan x = 3 dan y = 3 maka 3x + 4y paling besar kan? Jadi agar berat gula yang dihasilkan maksimu, jumlah peti tebu jenis X haruslah sebanyak 3 peti kemas dan jenis Y haruslah sebanyak 3 peti kemas. Nanti dihasilkan deh gula seberat 21 ton.

Itu lah manfaat dari program linear. Kita bisa tahu harus berapa banyak bahan baku yang dipakai agar hasilnya bisa optimal. Kalau hasilnya optimal, untungnya gede juga dong. Pantas saja tuh Che Guevara bisa mengangkat perekonomian Kuba di zaman itu. Kalau kamu belajar yang rajin, kamu juga pasti bisa seperti dia 

---

APRESIASI 

• pilih "PARESIASI" untuk mengisi absensi 
• apresiasi yang tidak sesuai dengan perintah tidak dihitung sebagai absensi

Lanjut Baca

Konsep dan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel

Cara mencari penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel dengan mudah akan dibahas pada artikel ini dari contoh nyata di kehidupan sehari-hari dan lingkungan sekitar.

--

Rogu ditugasi ibunya mengantar barang pesanan ke tetangganya. Ada dua jenis barang pesanan yaitu baju dan celana. Agar lebih mudah, Rogu mengantarnya menggunakan motor. Namun Rogu menemui masalah nih, Squad. Ia cuma bisa membawa barang-barang tersebut dalam jumlah terbatas! Bantu Rogu mencari jumlah maksimum barang yang dapat dibawa yuk agar motornya tidak kelebihan beban.

Motor Rogu hanya bisa membawa beban kurang dari 24 kg. Satu karung baju mempunyai berat sebesar 3 kg dan satu karung celana mempunyai berat sebesar 2 kg. Berapa karung baju dan celana yang dapat ia bawa?

Nah, dari persoalan ini bisa dibuat nih pertidaksamaan linear dua variabel. Mengapa pertidaksamaan? Kata kunci pertidaksamaan di antaranya adalah kurang atau lebih dari. Dua variabel berarti nilai yang tidak diketahui ada dua yaitu banyaknya karung baju dan celana.

Berat total kurang dari 24 kg. Padahal berat total itu berat baju ditambah berat celana. Sementara, berat baju dapat dihitung dari berat satu karung baju dikali jumlah karung baju. Begitu pula berat celana. Misalnya jumlah karung baju adalah x dan berat karung celana adalah y maka pertidaksamaannya jadi

3x + 2y < 24

Setelah itu gimana nih Squad penyelesaiannya? Jangan khawatir. Yuk langsung lihat langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan linear dua variabel!

Sekarang coba kita ikuti yuk langkah-langkah di atas

1. Cari titik x saat y = 0 dan y saat x = 0

Perhatiin deh. Pada 3x + 2y = 24, maka

saat y = 0 didapat 3x = 24 atau x = 8

saat x = 0 didapat 2y = 24 atau y = 12

Cukup mudah kan langkah pertama? Langsung aja lanjut ke langkah ke-2!

2. Gambar grafik yang menghubungkan kedua titik  

Tinggal beri titik di angka 8 pada sumbu x dan angka 12 pada sumbu y kok. Coba lihat ilustrasi di bawah

3. Arsir daerah yang bersesuaian dengan tanda

Daerah di bawah garis adalah untuk tanda kurang dari ( < ) dan daerah di atas garis adalah untuk tanda lebih dari ( > ). Maka daerahnya adalah

Catatan: jumlah barang tidak mungkin bernilai negatif sehingga daerah yang diberi tanda silang (x dan y negatif) bukan daerah penyelesaian

Jumlah karung baju dan celana yang bisa di bawa Rogu berapa nih jadinya? Lihat saja titik-titik dalam daerah penyelesaian. Contohnya adalah titik x = 5 dan y = 1. Maka Rogu bisa membawa 5 karung baju (5 x 3 kg = 15 kg) dan 1 karung celana (1 x 2 kg = 2 kg). Totalnya adalah 17 kg. Wah cukup berat juga ya. Tapi tetap kurang dari 24 kg kan? 

Eh, gimana kalau ternyata agar lebih cepat, ibu Rogu mensyaratkan banyaknya karung yang dibawa Rogu minimum harus 10 karung? Masih banyak karung yang Rogu antarkan lagi nih soalnya.

Maka selain pertidaksamaan 3x + 2y < 24, harus kita gabungkan juga pertidaksamaan lain. Banyaknya karung baju (x) ditambah banyaknya karung celana (y) minimal harus 10 karung. Jadi pertidaksamaan yang digabungkan dengan 3x + 2y < 24 adalah

x + y ≥ 10

Nah, gabungan dari beberapa pertidaksamaan linear dua variabel dinamakan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Pada prinsipnya, cara pemecahannya sama kaok yaitu dengan menggambar grafik. Tinggal cari deh daerah penyelesaian kedua pertidaksamaan di atas. Dengan menerapkan langkah-langkah di atas maka didapat gambar grafik yaitu

Salah satu titik penyelesaian tersebut adalah x = 1 dan y = 10. Jadi Rogu bisa nih membawa 1 karung baju dan 10 karung celana. Total karung yang ia bawa adalah 11 karung (lebih dari 10 karung) dan berat karung semuanya adalah 1 x 3 kg + 10 x 2 kg atau 23 kg. Tetap kurang dari 24 kg kan Squad? Itu tuh manfaatnya bisa menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Masalah di hidup kita bisa diselesaikan lebih mudah.

---

APRESIASI 

• pilih "PARESIASI" untuk mengisi absensi
• apresiasi yang tidak sesuai dengan perintah tidak dihitung sebagai absensi

Lanjut Baca

Barisan dan Deret Geometri: Rumus Un, Sn, dan Jenis-Jenis Deret Geometri Tak Hingga

Matematika Kelas 11 | Barisan dan Deret Geometri: Rumus Un, Sn, dan Jenis-Jenis Deret Geometri Tak Hingga

Fahri Abdillah 

Jun 6, 2018 • 7 min read

Konsep Pelajaran SMA Kelas XI matematika XI

---

Pada artikel Matematika kelas XI ini kamu akan mempelajari tentang mencari suku pada barisan geometri, deret geometri, dan deret geometri tak hingga. 

--

Squad, jika kamu sudah membaca artikel tentang baris dan deret aritmatika, kamu pastinya sudah tahu manfaat dari memelajari konsep barisan dan deret dalam matematika. Nah, selain barisan dan deret aritmatika, ada satu lagi nih yang mau kita bahas di artikel ini, yaitu baris dan deret geometri. Apa itu baris dan deret geometri? Apa sih perbedaannya dengan aritmatika? Oke, supaya kamu nggak bingung, yuk langsung baca penjelasannya di bawah ini.

Barisan geometri merupakan barisan yang memenuhi sifat hasil bagi sebuah suku dengan suku sebelumnya yang berurutan. Nah,hal tersebut bernilai konstan. Selain itu, barisan geometri juga sering diistilahkan sebagai “barisan ukur”. Oh iya, barisan deret geometri ini masih berhubungan dengan barisan dan deret aritmatikajuga yaa.

Misalnya barisan geometri tersebut adalah a,b, dan c, maka c/b = b/a = konstan. Kemudian dari situ kita akan mendapatkan hasil bagi suku yang berdekatan dan itu disebut rasio barisan geometri, bisa dilambangkan dengan “r”.

Contoh lebih mudahnya begini, misal kamu punya barisan dan deret seperti ini,

1, 3, 9, 27, …….dst

Dari barisan dan deret tersebut, kita bisa lihat antara suku pertama dengan suku kedua, antara suku kedua dan suku ketiga dan seterusnya selalu punya pengali yang sama. Nah, supaya lebih mudah, kamu harus mengetahui terlebih dahulu () nya atau suku pertama. Selain suku pertama, kamu juga harus tahu rasionya ().

Rumus Mencari Rasio  

 

Kalau kamu sudah mengetahui  dan  nya, sekarang kita pelajari rumus suku ke – n () dan juga rumus jumlah n suku yang pertama ()

Rumus Mencari Un

Untuk mencari suku ke n pada barisan dan deret geometri, kamu bisa menggunakan rumus berikut ini

Misalnya kita punya barisan dan deret

 

Mudah kan Squad rumusnya? Syaratnya adalah kamu mengetahui berapa  nya dan berapa

nya. Dengan begitu kamu sudah bisa mencari  dengan mudah. Sekarang lanjut kita cari tahu rumus selanjutnya yuk.

Rumus Mencari Sn

 adalah jumlah suku ke n pada barisan dan deret. Nahbagaimana cara kita mencari tau  pada barisan dan deret geometri? Di bawah ini adalah rumusnya.

Misalnya kita punya barisan dan deret

dst. Nah itu adalah cara kita mengetahui berapa S1, S2, S3, dan seterusnya.

Selanjutnya di bawah ini adalah rumus mencari .

 

Oke, itu dia rumus  dalam barisan dan deret geometri. Nahselain mencari  dan , kita akan bahas tentang barisan dan deret tak hingga.

Barisan dan deret tak hingga itu terbagi menjadi 2 jenis nih Squad, ada tak hingga divergen dan tak hingga konvergen. Nah keduanya memiliki perbedaan yang cukup penting. Yuk kita lihat pengertian dari ke dua jenis barisan tak hingga tersebut beserta perbedaannya.

Deret Geometri Tak Hingga Divergen

Deret geometri tak hingga divergen adalah suatu deret yang nilai bilangannya semakin membesar dan tidak bisa dihitung jumlahnya. Bisa kita lihat seperti di bawah ini,

1, 3, 9, 27, 81, …………… Kalau ditanya berapa sih jumlah seluruhnya? Jumlah seluruhnya tidak bisa dihitung karena nilainya semakin besar.

Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Berbeda dengan divergen, derek geometri tak hingga konvergen merupakan suatu deret di mana nilai bilangannya semakin mengecil dan dapat dihitung jumlahnya. Seperti di bawah ini,

 Semakin lama nilainya semakin mengecil dan ujungnya akan mendekati angka 0. Hal ini membuat deret geometri tak hingga konvergen dapat dihitung jika ditanyakan jumlah seluruhnya.

Lalu bagaimana untuk menghitung jumlah seluruh dari tak hingga konvergen?

Sebelum masuk ke rumus, ada syarat terlebih dahulu jika kamu bertemu dengan deret geometri tak hingga konvergen, yaitu rasionya atau pengalinya harus antara -1 sampai 1 (-1 > r > 1) dan ini berlaku untuk negatif dan positif.

Contohnya begini jika kita kalikan dengan 

Nah sekarang kita lihat ya rumus menghitung jumlah tak hingganya

Nah itu dia, jadi hasil jumlah S tak hingga nya adalah 8. Ingat ya, pada deret geometri tak hingga, kita dapat mencari jumlah dari keseluruhannya. Hal ini dikarenakan nilainya yang semakin mengecil, mendekati 0. Seperti ini ya,

Lanjut Baca