Persamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel

Di dalam bidang ilmu geometri, nilai mutlak dari  x biasa ditulis dengan: | x |, yang merupakan sebuah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Sebab jarak tersebut selalu bernilai positif atau nol, sehingga nilai mutlak x juga akan selalu bernilai positif atau nol untuk masing-masing setiap x bilangan real.

Nilai mutlak merupakan sebuah nilai yang selalu bernilai positif serta biasa dinotasikan seperti: |x|

Secara umum, nilai mutlak ini bisa kita jabarkan menjadi sebagai berikut:


Selain dari persamaan di atas, jika nilai mutlak ada dalam sebuah bentuk aljabar maka bisa kita peroeh sebuah persamaan seperti berikut ini:


Sifat Persamaan Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari sebuah bilangan x bisa juga didefiniskan sebagai jarak bilangan tersebut pada titik 0 pada garis bilangan, dengan tidak memperhatikan arahnya.Hal tersebut berrarti |x| = 5 mempunyai dua selesaian, sebab terdapat dua bilangan yang jaraknya terhadap 0 adalah 5: x = –5 dan x = 5.


Konsep tersebut bisa juga kita perluas lagi dalam situasi yang melibatkan bentuk – bentuk aljabar yang terletak di dalam simbol nilai mutlak. Seperti yang akan dijabarkan oleh sifat di bawah ini:

Sifat Persamaan Nilai Mutlak :
Apabila x merupakan sebuah bentuk aljabar dan k merupakan bilangan real positif, maka |X| = k akan mengimplikasikan X = –k atau X = k.

Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Dalam suatu persamaan nilai mutlak linear satu variabel, garis bilangan dipakai sebagai media yang berguna dalam menunjukan nilai mutlak.
Besar dari nilai mutlak tersebut bisa kita lihat dari panjang tanda panah serta dihitung dari nilai nol.
Sementara untuk tanda panah dipakai dalam menentukan suatu besaran dari nilai mutlak, di mana arah ke kiri menunjukan nilai mutlak dari bilangan negatif. Dan begitu pula sebaliknya.
Sementara untuk arah yang ke kanan menunjukan nilai mutlak dari bilangan positif.

Perhatikan baik-baik gambar garis bilangan di bawah ini:


Jika kita lihat pada tanda panah di atas, maka akan kita jumpai pergerakan dari bilangan 0 ke arah kanan menuju bilangan ke 3.

Sehingga besar dari langkah yang dilewati oleh tanda panah di atas yaitu 3 (berjarak 3 satuan dari bilangan 0). Hal ini artinya nilai mutlak tersebut yaitu|3|= 3.

contoh Masalah

Sungai pada keadaan tertentu mempunyai sifat cepat meluap di musim hujan dan cepat kering di musim kemarau. Diketahui debit air sungai tersebut adalah p liter/detik pada cuaca normal dan mengalami perubahan debit sebesar q liter/detik di cuaca tidak normal. Tunjukkan nilai penurunan minimum dan peningkatan maksimum debit air sungai tersebut.

Nilai mutlak peningkatan dan penurunan debit air tersebut dengan perubahan q liter/detik dapat ditunjukkan dengan persamaan 

|x – p| = q, x adalah debit air sungai.

untuk mengingat kembali definisi 1 silahkan kembali baca materi pengertian nilai mutlak

Akibatnya, |x – p| = q berubah menjadi

a) Untuk x ≥ p, x – p = q atau x = p + q

    Hal ini berarti peningkatan maksimum debit air sungai adalah (p + q)

b) Untuk x < p, –x + p = q atau x = p – q

    Hal ini berarti penurunan minimum debit air adalah (p – q)

Dengan pemahaman yang telah dimiliki, maka kita dapat menggambarkannya

sebagai berikut.

Nilai maksimum p + q dan nilai minimum p – q

Dari grafik di atas, dapat dinyatakan penurunan minimum debit air adalah (p – q) liter/detik dan peningkatan maksimum debit air adalah (p + q) liter/detik.

---

APRESIASI

•  pilih "PARESIASI" untuk mengisi absensi 
• apresiasi yang tidak sesuai dengan perintah tidak dihitung sebagai absensi

Lanjut Baca

penujumlahan dan pengurangan matrik

Menurut para ahli, pengertian Matriks ialah bilangan atau simbol yang dikumpulkan menjadi satu kemudian disusun menjadi baris dan koloh hingga membentuk bangun seperti persegi panjang. Matriks tersebut mempunyai bilangan yang dinamakan dengan komponen atau elemen bilangan matriks. Selain itu adapula operasi penjumlahan dan pengurangan pada matriks. Keduanya memiliki rumus penjumlahan matriks dan rumus pengurangan matriks. Maka dari itu terdapat beberapa ketentuan dalam operasi matriks tersebut, baik dalam bentuk penjumlahan ataupun pengurangan.

Operasi dasar pada matriks tidak hanya penjumlahan maupun pengurangan saja. Melainkan masih adalagi yang lainnya seperti perkalian skalar matriks, pembagian mariks, perkalian matriks dan sebagainya. Operasi pada matriks tersebut sering muncul dalam ujian ujian sekolah ataupun nasional, baik dalam tingkat SMP ataupun SMA. Nah pada kesempatan kali ini saya akan menjelaskan tentang rumus penjumlahan matriks dan rumus pengurangan matriks. Untuk lebih jelasnya dapat anda simak di bawah ini.

Rumus Penjumlahan Matriks dan Pengurangan Matriks

Seperti yang sudah saya jelaskan di atas bahwa matriks tersusun oleh bilangan bilangan yang dibentuk menjadi kolom dan baris. Maka dari itu rumus penjumlahan matriks dan rumus pengurangan matriks juga berhubungan dengan susunan kolom dan baris tersebut. Nilai nilai Matriks ini diperoleh dari penerapan sistem kolom dan baris seperti di bawah ini:

Rumus Penjumlahan Matriks

Dalam rumus penjumlahan matriks terdapat ketentuan khusus yaitu dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama dengan begitu akan diperoleh nilai nilai matriks dari penjumlahan tersebut. Elemen atau komponen matriks yang letaknya sama tinggal dijumlahkan saja. Perhatikan rumus penjumlahan pada matriks yang ordonya 2x2:

rumus penjumlahan matrik

Konsep rumus penjumlahan matriks diatas berlaku untuk ordo 3x3, 4x4 dan sebagainya. Yang terpenting dalam penjumlahan pada matriks ini ialah kedua ordo matriksnya sama. Dalam rumus tersebut a (elemen baris 1 kolom 1 matriks A) dijumlahkan dengan e (elemen baris 1 kolom 1 matriks B), kemudian begitu pula seterusnya. Agar anda lebih memahami mengenai rumus ini, saya akan membagikan contoh soal penjumlahan matriks seperti dibawah ini:

penyelesaian penjumlahan

Rumus Pengurangan Matriks

Konsep rumus pengurangan matriks hampir sama dengan penjumlahan matriks. Untuk pengurangan matriks juga berlaku ketentuan khusus yaitu kedua matriks harus mempunyai jumlah ordo yang sama. Dengan begitu akan diperoleh nilai Matriks dari pengurangan tersebut. Elemen atau komponen matriks yang letaknya sama tinggal dikurangkan saja. Perhatikan rumus pengurangan pada matriks yang ordonya 2x2:

rumus pengurangan matrik

Konsep rumus pengurangan matriks diatas berlaku untuk ordo 3x3, 4x4 dan sebagainya. Yang terpenting dalam pengurangan pada matriks ini ialah kedua ordo matriksnya sama. Dalam rumus tersebut a (elemen baris 1 kolom 1 matriks A) dikurangkan dengan e (elemen baris 1 kolom 1 matriks B), kemudian begitu pula seterusnya. Agar anda lebih memahami mengenai rumus ini, saya akan membagikan contoh soal pengurangan matriks seperti dibawah ini:

---

APRESIASI 

• pilih "PARESIASI" untuk mengisi absensi
• apresiasi yang tidak sesuai dengan perintah tidak dihitung sebagai absensi

Lanjut Baca

Konsep matrik

Para Warga, tahu nggak sih kalau ada materi matematika yang bisa kamu gunakan untuk menentukan persentase posisi bola ketika pertandingan berlangsung? Emang ada? Ternyata ada lho, nama materinya adalah matriks. Jadi, apa itu sebenarnya matriks? Mari kita simak penjelasannya,

Contoh mudah matriks dapat kamu lihat dalam ilustrasi di bawah ini:

Ilustrasi di atas dapat kamu baca seperti ini: a11 dibaca baris ke-1 dan kolom ke-1; a12 dibaca baris ke-1 dan kolom ke-2; atau amn yang berarti baris ke-m dan kolom ke-n. Banyaknya baris dan kolom dalam matriks disebut dengan ordo. Urutan yang perlu diingat adalah baris kemudian kolom. Matriks dalam ilustrasi di bawah ini memiliki ordo 2x3, karena memiliki dua baris dan tiga kolom.

Untuk mengetahui matriks dalam matematika lebih dalam, ada beberapa jenis matriks yang perlu kamu ketahui, Squad. Jenis-jenisnya adalah:

1. Matriks nol           : matriks yang semua elemennya adalah nol.
2. Matriks baris        : matriks yang hanya memiliki satu baris.
3. Matriks kolom      : matriks yang hanya memiliki satu kolom.
4. Matriks persegi  : matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.
5. Matriks identitas : matriks konstanta dengan elemen diagonal utama adalah 1.

Selain jenis-jenis matriks, ada juga yang disebut dengan transpose matriks. Ingat ‘kan kalau matriks selalu dilambangkan dengan huruf kapital? Misalnya lambang satu matriks adalah A. Nah, transpose dari matriks A dilambangkan dengan A’ (dengan tanda petik satu di atasnya). Transpose sendiri dilakukan dengan meletakkan baris pada matriks A menjadi kolom pada matriks A’, begitu juga sebaliknya.

Jangan pusing dulu! Kamu bisa lihat contoh transpose matriks di bawah ini:

Sudah paham dong sekarang? Coba, kita uji yuk pemahaman kamu lewat latihan soal di bawah ini:

Diketahui transpose matriks , maka matriks A adalah…

A.  

B. 

C. 

D. 

E. 

Pembahasan:

Cara menyelesaikannya tetap sama yaitu, pertukaran baris dengan kolom. Baris 1 -> kolom 1, baris 2 - > kolom 2 akan menjadi . Sehingga jawabannya adalah: B.

Matriks ini dapat digunakan dalam berbagai hal, seperti untuk menghitung persentase posisi bola dalam pertandingan sepak bola, mengirim sandi dalam militer, hingga penggunaan kalkulator. 

---

APRESIASI 

• pilih "PARESIASI" untuk mengisi absensi 
• apresiasi yang tidak sesuai dengan perintah tidak dihitung sebagai absensi

Lanjut Baca

Konsep dan strategi penyelesaian program linear

Cara menyelesaikan program linear dengan mudah dibahas di artikel ini melalui contoh nyata di kehidupan sehari-hari dan lingkungan sekitar.

--

Siapa sih yang nggak mengagumi Bapak Proklamasi kita, Ir. Soekarno? Jasanya buesaaaar sekali bagi kemerdekaan Indonesia, Squad. Namun tahu nggak kalau ia pernah punya sahabat? Yap, namanya adalah Che Guevara, revolusioner sekaligus Menteri Perindustrian negara Kuba. Bayangin, sama gigihnya seperti Bung Karno, Che Guevara mengangkat perekonomian Kuba dari keadaan genting memakai prinsip penyelesaian program linear dalam matematika!

penyelesaian program linear dipakai untuk optimasi atau mencari nilai yang paling efektif dari suatu proses. Nah, Che Guevara memanfaatkannya untuk mengolah industri-industri Kuba. Program linear membantu mengetahui berapa sih bahan baku yang harus dipakai suatu pabrik agar biaya produksi serendah mungkin tapi keuntungannya semaksimal mungkin. Penasaran kan gimana cara optimasi dengan menyelesaikan program linear? Cekidot!

Presiden Soekarno berdiskusi dengan Che Guevara (sumber: news.lewatmana.com)

Program linear biasanya berbentuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel, Squad. Kamu harus mengingat kembali materi pertidaksamaan dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Perlu kamu ketahui juga kalau optimasi dengan menyelesaikan program linear ada beberapa cara. Pastinya yang diterangkan di sini yang paling mudah dong. Yuk langsung cek langkah-langkah optimasi dengan menyelesaikan program linear.

Industri yang berkembang di Kuba saat itu adalah industri gula. Misalnya untuk membuat gula pada suatu pabrik diperlukan bahan baku tebu jenis X dan Y.

Banyaknya tebu X dan tebu Y yang bisa diolah tidak lebih dari 6 peti kemas. Satu peti kemas untuk tebu X beratnya 2 ton dan satu peti kemas untuk tebu Y beratnya 3 ton.
Padahal, berat total peti kemas tebu X dan Y tidak boleh lebih dari 15 ton agar kendaraan pengangkut tidak overweight. Bila satu peti kemas tebu jenis X menghasilkan 3 ton gula dan satu peti kemas tebu jenis Y menghasilkan 4 ton gula, dengan semua syarat di atas, berapa maksimum berat gula yang dapat dihasilkan?

Masalah di atas adalah masalah yang bisa diselesaikan dengan optimasi dari menyelesaikan program linear. Kok bisa? Karena kita mencari banyaknya tebu X dan Y paling efektif untuk menghasilkan gula semaksimal mungkin walaupun terdapat seperti jumlah peti kemas tidak boleh lebih dari 6 dan berat totalnya tidak boleh lebih dari 15 ton. Langsung aja yuk kita ikuti langkah-langkah di atas.

1. Buat sistem pertidaksamaan linear dari masalah yang ada

Gimana tuh cara membuat sistem pertidaksamaannya? mudah kok. Coba lihat nih. 

2. Selesaikan sistem pertidaksamaan linear tersebut

Caranya gimana hayo? Kita harus menggabungkan semua pertidaksamaan tersebut dalam satu grafik Squad. Ingat lho cara menggambar grafik yaitu cari dulu titik x saat y = 0 dan titik y saat x = 0 lalu kedua titik tersebut dihubungkan deh. Jangan lupa buat diarsir sesuai tanda pertidaksamaannya ya. Kalau lebih dari di atas dan kurang dari di bawah. Nanti jadi seperti ini deh.

3. Lakukan uji titik yang sesuai di penyelesaian sistem pertidaksamaan yang dihasilkan

Uji titik itu gimana sih? Gini, kita kan mau tau nih jumlah gula maksimum yang dihasilkan berapa. Satu peti kemas tebu X menghasilkan 3 ton gula. Padahal ada sebanyak x peti. Maka tebu X bisa menghasilkan 3x ton gula. Begitu pula dengan tebu Y. Ada sebanyak y peti dan masing-masing menghasilkan 4 ton gula. Maka tebu Y bisa menghasilkan 4y ton gula. Maka dihasilkan total gula sebanyak

Total gula = 3x + 4y

Nah, x dan y nya diisi berapa tuh? Kita isi dengan x dan y dari titik-titik kritis. Titik kritis adalah titik yang termasuk daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan namun merupakan titik perpotongan 2 garis atau lebih. Coba deh cari dulu titik kritisnya.

Didapat deh 3 titik kritis tuh yaitu (0,5), (3,3), dan (6,0). Langsung aja masukin semuanya ke 3x + 4y

Lihat coba tuh. Saat dimasukkan x = 3 dan y = 3 maka 3x + 4y paling besar kan? Jadi agar berat gula yang dihasilkan maksimu, jumlah peti tebu jenis X haruslah sebanyak 3 peti kemas dan jenis Y haruslah sebanyak 3 peti kemas. Nanti dihasilkan deh gula seberat 21 ton.

Itu lah manfaat dari program linear. Kita bisa tahu harus berapa banyak bahan baku yang dipakai agar hasilnya bisa optimal. Kalau hasilnya optimal, untungnya gede juga dong. Pantas saja tuh Che Guevara bisa mengangkat perekonomian Kuba di zaman itu. Kalau kamu belajar yang rajin, kamu juga pasti bisa seperti dia 

---

APRESIASI 

• pilih "PARESIASI" untuk mengisi absensi 
• apresiasi yang tidak sesuai dengan perintah tidak dihitung sebagai absensi

Lanjut Baca

Konsep dan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel

Cara mencari penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel dengan mudah akan dibahas pada artikel ini dari contoh nyata di kehidupan sehari-hari dan lingkungan sekitar.

--

Rogu ditugasi ibunya mengantar barang pesanan ke tetangganya. Ada dua jenis barang pesanan yaitu baju dan celana. Agar lebih mudah, Rogu mengantarnya menggunakan motor. Namun Rogu menemui masalah nih, Squad. Ia cuma bisa membawa barang-barang tersebut dalam jumlah terbatas! Bantu Rogu mencari jumlah maksimum barang yang dapat dibawa yuk agar motornya tidak kelebihan beban.

Motor Rogu hanya bisa membawa beban kurang dari 24 kg. Satu karung baju mempunyai berat sebesar 3 kg dan satu karung celana mempunyai berat sebesar 2 kg. Berapa karung baju dan celana yang dapat ia bawa?

Nah, dari persoalan ini bisa dibuat nih pertidaksamaan linear dua variabel. Mengapa pertidaksamaan? Kata kunci pertidaksamaan di antaranya adalah kurang atau lebih dari. Dua variabel berarti nilai yang tidak diketahui ada dua yaitu banyaknya karung baju dan celana.

Berat total kurang dari 24 kg. Padahal berat total itu berat baju ditambah berat celana. Sementara, berat baju dapat dihitung dari berat satu karung baju dikali jumlah karung baju. Begitu pula berat celana. Misalnya jumlah karung baju adalah x dan berat karung celana adalah y maka pertidaksamaannya jadi

3x + 2y < 24

Setelah itu gimana nih Squad penyelesaiannya? Jangan khawatir. Yuk langsung lihat langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan linear dua variabel!

Sekarang coba kita ikuti yuk langkah-langkah di atas

1. Cari titik x saat y = 0 dan y saat x = 0

Perhatiin deh. Pada 3x + 2y = 24, maka

saat y = 0 didapat 3x = 24 atau x = 8

saat x = 0 didapat 2y = 24 atau y = 12

Cukup mudah kan langkah pertama? Langsung aja lanjut ke langkah ke-2!

2. Gambar grafik yang menghubungkan kedua titik  

Tinggal beri titik di angka 8 pada sumbu x dan angka 12 pada sumbu y kok. Coba lihat ilustrasi di bawah

3. Arsir daerah yang bersesuaian dengan tanda

Daerah di bawah garis adalah untuk tanda kurang dari ( < ) dan daerah di atas garis adalah untuk tanda lebih dari ( > ). Maka daerahnya adalah

Catatan: jumlah barang tidak mungkin bernilai negatif sehingga daerah yang diberi tanda silang (x dan y negatif) bukan daerah penyelesaian

Jumlah karung baju dan celana yang bisa di bawa Rogu berapa nih jadinya? Lihat saja titik-titik dalam daerah penyelesaian. Contohnya adalah titik x = 5 dan y = 1. Maka Rogu bisa membawa 5 karung baju (5 x 3 kg = 15 kg) dan 1 karung celana (1 x 2 kg = 2 kg). Totalnya adalah 17 kg. Wah cukup berat juga ya. Tapi tetap kurang dari 24 kg kan? 

Eh, gimana kalau ternyata agar lebih cepat, ibu Rogu mensyaratkan banyaknya karung yang dibawa Rogu minimum harus 10 karung? Masih banyak karung yang Rogu antarkan lagi nih soalnya.

Maka selain pertidaksamaan 3x + 2y < 24, harus kita gabungkan juga pertidaksamaan lain. Banyaknya karung baju (x) ditambah banyaknya karung celana (y) minimal harus 10 karung. Jadi pertidaksamaan yang digabungkan dengan 3x + 2y < 24 adalah

x + y ≥ 10

Nah, gabungan dari beberapa pertidaksamaan linear dua variabel dinamakan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Pada prinsipnya, cara pemecahannya sama kaok yaitu dengan menggambar grafik. Tinggal cari deh daerah penyelesaian kedua pertidaksamaan di atas. Dengan menerapkan langkah-langkah di atas maka didapat gambar grafik yaitu

Salah satu titik penyelesaian tersebut adalah x = 1 dan y = 10. Jadi Rogu bisa nih membawa 1 karung baju dan 10 karung celana. Total karung yang ia bawa adalah 11 karung (lebih dari 10 karung) dan berat karung semuanya adalah 1 x 3 kg + 10 x 2 kg atau 23 kg. Tetap kurang dari 24 kg kan Squad? Itu tuh manfaatnya bisa menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Masalah di hidup kita bisa diselesaikan lebih mudah.

---

APRESIASI 

• pilih "PARESIASI" untuk mengisi absensi
• apresiasi yang tidak sesuai dengan perintah tidak dihitung sebagai absensi

Lanjut Baca

KONSEP DAN OPERASI HIMPUNAN

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering melihat sekumpulan benda, berbagai jenis makanan hewan, atau orang-orang di sekeliling kita yang dikelompokkan menurut sifat atau ciri tertentu. Kita perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 1
Aliyah mempunyai alat tulis masing-.masing sebuah penggaris, bolpen, penghapus, dan pensil. Jadi dapat dibentuk himpunan alat tulis yang dimiliki Aliyah.

Contoh 2

Pak Kadir memiliki tiga putra, Ali, Gita, dan Haryo. Sekumpulan anak-anak pak Kadir ini dapat membentuk himpunan. Kita menyebutnya sebagai himpunan anak-anak Pak Kadir. Ali, Gita, dan Haryo merupakan obyek atau anggota dari himpunan tersebut. Sekarang, amati beberapa benda yang ada di lingkungan sekitar, misalkan benda-benda di suatu ruangan, kantin, taman, lapangan parkir, makanan kegemaran, warna kesukaan, hobi dan lain-lain. Kelompokkan kumpulan benda apa saja yang anda lihat tadi? Pada permainan, misalkan menyebutkan nama buah yang diawali dengan huruf tertentu, misalkan huruf M.

Jawaban yang bisa disebut Mangga, Melon, Markisa, Manggis. Pengelompokan benda-benda yang masuk dalam suatu himpunan harus terdefi nis dengan jelas. Sekumpulan kue enak di toko kue. Di sini kita sulit membedakan kue enak dan yang tidak enak karena setiap orang mempunyai selera kue yang berbeda. Kue yang enak tidak bisa didefi nisikan atau diterangkan secara jelas. Akibatnya, obyek untuk membentuk himpunannya tidak bisa ditentukan. Jadi, sekumpulan kue enak bukan merupakan himpunan.

Sekarang kalian coba kelompokan hasil identifi kasi, diantaranya:

1) Kumpulan alat tulis

2) Kumpulan makanan gorengan

3) Kumpulan sayuran

4) Kumpulan kendaraan bermotor

5) Kumpulan jenis pabrikan motor

6) Kumpulan warna spidol

Himpunan disebut juga “kumpulan, kelompok, gugus, atau set”. Himpunan merupakan kumpulan dari obyek-obyek yang berbeda dan terdefi nisi atau dapat diterangkan secara jelas. Notasi himpunan yang biasa dipakai yaitu mengunakan huruf A, B, C,…Z. Dan pengelompokkan batasan yang merupakan anggota suatu kelompok nama-nama atau benda menggunakan kurung kurawal .

Keanggotaan benda atau objek yang menjadi anggota suatu himpunan atau kelompok dilambangkan

atau dinotasikan dengan “ɛ”. Benda atau objek yang bukan anggota suatu himpunan atau kelompok dilambangkan dengan “ɛ”.

Ada tiga cara untuk menyatakan atau menuliskan himpunan. Cara itu adalah sebagai berikut ini:

1. Dengan mendaftar, yaitu dengan cara menyebut angota-anggotanya, dan menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal, serta anggota-anggotanya dipisahkan dengan koma. Cara ini dikenal dengan cara tabulasi atau tabular. Contoh, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
2. Dengan kata-kata yaitu dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya. Cara ini disebut cara deskripsi. Contoh, A adalah himpunan dengan anggota semua bilangan asli
3. Dengan cara notasi pembentuk himpunan. Cara ini sebenarnya sama dengan cara nomor b. pada cara ini anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah, misalkan x, y atau lainnya. Contoh, A = {x | x bilangan asli} dan dibaca ”A adalah himpunan dengan anggota setiap x sedemikian hingga x adalah bilangan asli”

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Lambang yang menyatakan himpuanan kosong adalah  atau { } . Himpunan nol adalah himpunan yang anggotanya bilangan nol, yaitu {0}.   

Obyek-obyek yang membentuk himpunan sebenarnya merupakan anggota dari suatu himpunan lain yang lebih luas. Biasanya himpunan yang lebih luas ini dipakai sebagai batasan dalam ruang lingkup pembicaran kita tentang obyek-obyek tersebut. Himpunan ini disebut himpunan semesta atau universum

Himpunan semesta, semesta pembicaraan, atau universum adalah himpunan semua objek yang dibicarakan atau dibahas dan dilambangkan dengan “S” atau “U”. Untuk setiap himpunan selalu dapat dibentuk himpunan semestanya. Pembentukannya didasarkan atas obyek-obyek

yang sedang dibicarakan. Untuk satu himpunan dapat dibentuk lebih dari satu himpunan semesta Dari banyak anggota, dikenal himpunan terhingga atau fi nite set, yaitu himpunan yang anggota- anggotanya dapat dihitung dan himpunan tak hingga atau infi nite set, yaitu himpunan yang anggota-anggotanya tak berhingga.

Suatu himpunan dapat pula dinyatakan dalam bentuk diagram. Diagram ini dikenal dengan nama diagram Venn (untuk menghargai jasa penemunya yaitu seorang matematikawan Inggris, John Venn). Cara membuat diagram tersebut adalah

1. Himpunan semesta (S) digambarkan dengan segi empat yang cukup besar,
2. Obyek-obyek yang dibicarakan digambarkan dengan titik-titik di dalam S, dan
3. Himpunan-himpunan digambarkan dengan lingkaran, elips, segi empat, atau garis hubung lainnya yang melingkupi anggotanya

Hubungan antar himpunan adalah sebagai berikut.

Untuk memahami tentang himpunan, perhatikan permasalahan berikut ini.

Arman merupakan seorang petugas sensus. Pada suatu hari Arman melakukan pendataan

terhadap salah satu keluarga di Desa Mandiri. Kemudian ia memperoleh data sebagai

berikut. Munadi sebagai kepala keluarga yang berusia 40 tahun pendidikan terakhir SMA,

Rina sebagai istri munadi yang berusia 35 tahun pendidikan SMA. Mempunyai empat orang

anak antara lain Marni berusia 15 tahun pelajar SMP, Risma berusia 13 tahun pelajar SMP,

Radi berusia 10 tahun pelajar SD, dan Riki berusia 7 tahun pelajar SD.

Berdasarkan hasil sensus tersebut maka:

a. Berapa anak Pak Munadi yang belum sekolah?

b. Sebutkan nama-nama anak dari Pak Munadi?

c. Sebutkan himpunan semesta dari risma, radi, dan riki tersebut?

Alternatif Jawaban

Berdasarkan masalah tersebut dapat kita petakan data sensus sebagai berikut:

1. Munadi usia 40 tahun pendidikan terakhir SMA

2. Rina usia 35 tahun pendidikan terakhir SMA

3. Marni usia 15 tahun pelajar SMP

4. Risma usia 13 tahun pelajar SMP

5. Radi usia 10 tahun pelajar SD

6. Riki usia tahun pelajar SD

Dari data yang diperoleh, alternatif jawaban untuk permasalahan  diatas adalah  sebagai berikut:

---

APRESIASI 

• pilih "PARESIASI" untuk mengisi absensi
• apresiasi yang tidak sesuai dengan perintah tidak dihitung sebagai absensi

Lanjut Baca

perkalian, pembagian dan perpangkatan bilangan bulat

Perkalian merupakan penjumlahan berulang. Sedangkan pembagian merupakan pengurangan berulang.

Contoh:

a. 4 × 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20

b. 6 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18

c. 72 ÷ 8 = 9

d. 24 ÷ 3 = 8

Kita dapat mengingat hasil pembagian melalui perkalian. Misalnya:

a. 48 ÷ 6 = 8 karena 6 × 8 = 56

b. 30 ÷ 5 = 6 karena 5 × 6 = 30

Setiap bilangan (kecuali 0), memiliki nilai kebalikannya. Misalnya kebalikan 4 adalah 1/4, kebalikan dari -3/5 adalah -5/3. Secara umum,

Kebalikan dari p adalah 1/p, p ≠ 0

Operasi pembagian merupakan kebalikan dari perkalian, artinya membagi dengan sebuah bilangan sama artinya dengan mengalikan dengan kebalikan dari bilangan tersebut. Pembagian dengan nol tidak didefi nisikan (mengapa?)

Dengan menggunakan pengertian dan menggunakan sifat perkalian, kita dapat melakukan perkalian dengan bilangan negatif sebagai berikut.

Contoh:

(1) 4 × (-5) = -5 + (-5) + (-5) + (-5)

                  = -10 + (-10)

                  = -20

Jadi, 4 × (-5) = -5 × 4 = -20

Perkalian bilangan positif dengan negatif (bertanda tidak sama) hasilnya negatif

(2) 4 × (-5) = -20

     3 × (-5) = -15 (diperoleh dari –20 + 5)

     2 × (-5) = -10 (diperoleh dari –15 + 5)

     1 × (-5) = -5 (diperoleh dari –10 + 5)

     0 × (-5) = 0 (diperoleh dari –5 + 5)

    -1 × (-5) = 5 (diperoleh dari 0 +5)

    -2 × (-5) = 10 (diperoleh dari 5 +5)

Perkalian bilangan negatif dengan negatif (bertanda sama) hasilnya positif.

Perkalian dan pembagian bilangan yang bertanda sama hasilnya adalah positif, sedangkan yang bertanda tidak sama hasilnya negatif.

Contoh:

a. -3 × (-20) = 60

b. -5 ÷ (-6) = -5 × (-1 6) = 5 6

c. -3 × 6 = -18

d. -8 ÷ 7 = -8 × 1 7 = -8 7 = -11 7

Pembagian merupakan kebalikan dari perkalian, yaitu:

4 × 3 = 12, maka 12 ÷ 4 =3

Dengan menggunakan sifat tersebut, maka kita dapat menghitung hasilbagi antar bilangan bulat.

Contoh:

a. 63 ÷ 9 = 7 karena 7 × 9 = 63

b. 48 ÷ 8 = 6 karena 8 × 6 = 48

c. –72 ÷ 8 = -9 karena –9 × 8 = -72

d. –72 ÷ (-8) = 9 karena –9 × (-8) = 72

e. 72 ÷ (-8) = -9 karena –9 × (-8) = 72

Jadi, pembagian dua bilangan yang bertanda sama hasilnya positif dan pembagian dua bilangan yang bertanda tidak sama hasilnya negatif.

Perpangkatan juga banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, seorang petani memiliki lahan berbentuk persegi dengan panjang 10 m dan lebar 10 m, maka luas lahan adalah

10 m x 10 m = 102 m2 = 100 m2.

Perpangkatan merupakan perkalian berulang dari bilangan atau perkalian dengan meng gunakan faktor bilangan yang sama. Seperti nampak pada contoh di atas dimana 10 x 10 = 102 atau contoh lain misalkan: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25, 3 x 3 x 3 = 33, 5 x 5 x 5 x 5 = 54.

Pangkat 2 merupakan selisih atau pengurangan dari pangkat 5 dan pangkat 3

Contoh lain:

36 : 34 = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)/(3 x 3 x 3 x 3)

            = 3 x 3

            = 32

Pangkat 2 merupakan selisih atau pengurangan dari pangkat 6 dan pangkat 4

---

APRESIASI

•  pilih "PARESIASI" untuk mengisi absensi 
• apresiasi yang tidak sesuai dengan perintah tidak dihitung sebagai absensi

Lanjut Baca